相続は開始したものの、誰も相続しなかったり相続する人が現れない場合、その財産はどうなるのでしょうか。

相続人が全員相続放棄をした場合、あるいは、 被相続人に法定相続人となることができる親族が存在せず遺言もない場合、相続財産清算人の選任が必要です。

相続財産清算人の選任申立をするのは相続人全員が相続放棄した場合が多く、申立をするのはもともとの相続人です。もともと相続人だった人は相続放棄によって遺産を相続することがなくなります。

相続しなくなったからと言っても、一定の場合は遺産の管理義務が無くなるわけではありません。
相続放棄した人であっても、その放棄の時に相続財産を現に占有しているときは相続財産が適切に管理されるようになるまで、自分の財産と同一の注意義務を持って遺産を管理する義務を負います。不注意によって財産を毀損したら債権者から損害賠償請求を受けるかもしれません。不動産の管理不行き届きで周辺住民に損害を与えたりすると、損害賠償請求を受ける可能性もあります。
相続財産清算人が選任されたら財産を引き渡すことができるので、相続放棄した人の財産管理義務がなくなります。

相続財産清算人を選任するときは、被相続人の最終の住所地を管轄する家庭裁判所で相続財産清算人の選任申立の手続きをします。裁判所が相続財産清算人が必要であると判断したら相続財産清算人が選任されます。
相続財産清算人の選任は「審判」という方法で行われます。
相続財産清算人選任についての審判が出たら、申立人の元に「審判書」が送られてきます。これを見ると相続財産清算人が選任されたかどうか、及び、選任されたとしたらその氏名や住所などがわかります。